מבנה גבישי של חומרים

סריג גבישי ותא יחידה

מבנה גבישי הוא, למעשה, סדר לטווח ארוך — ובמקרה האידיאלי, סדר אינסופי. כלומר, אילו היינו צופים הנמצאים בתוך גוף בעל מבנה גבישי, היינו רואים חזרה של סידור מסוים בכל כיוון שאליו נביט. מכיוון שבמבנה כזה הנקודות אינן נבדלות זו מזו, ניתן לבחור מקטע קטן של המבנה, לתאר אותו במונחים של זוויות ומידות, ולמעשה ״לשכפל״ אותו בדמיון אינסוף פעמים בכל כיוון רצוי — וכך לשחזר את המבנה כולו.

מקטע מינימלי כזה זכה בשם תא יחידה (unit cell). את הסדר לטווח ארוך נוח מאוד לתאר באמצעות סריג (lattice). הסריג הוא מושג מופשט הקיים בדמיון בלבד — רשת של נקודות במרחב. ועם זאת, כיום יש לנו אפשרות להתבונן במבנים של גופים מוצקים בהגדלות המאפשרות לראות אטומים או יונים בודדים, ואנו רואים שמושג הסריג אכן עוזר לנו לדמיין נכון את המבנה הגבישי.

---

מבני סריג עיקריים במתכות

בסך הכול קיימים מעל 200 מבני סריג שונים. בתוכם, 14 מבנים מהווים בסיס משותף לכל השאר, והם נקראים סריגי ברווה (Bravais lattices). בקורס בסיסי נסתפק בארבעה סריגים בלבד — אלה הפשוטים והנפוצים ביותר במתכות.

תא קובי פרימיטיבי (PC — primitive cubic) — הסוג הבסיסי ביותר. התא מכיל אטומים היושבים בשמונת קודקודי הקובייה.

תא קובי ממורכז גוף (BCC — body-centered cubic) — בנוסף לאטומים שבקודקודים, יש אטום נוסף במרכז הגאומטרי של הקובייה.

תא קובי ממורכז פאות (FCC — face-centered cubic) — בנוסף לאטומים שבקודקודים, יש אטום נוסף במרכז כל אחת משש הפאות. מרכז הקובייה נשאר ריק. (אילו היינו מוסיפים אטום גם במרכז, היינו נאלצים לחתוך את הקובייה לשמונה קוביות קטנות יותר — שכן הדרישה מתא יחידה היא לבחור את המקטע הקטן ביותר הנושא את כל הפרמטרים הגאומטריים של הסריג.)

תא הקסגונלי צפוף (HCP — hexagonal closely packed) — שונה מן התאים הקוביים. בבסיסו מונח משושה משוכלל. בתא כזה ישנם גם אטומים נוספים פנימיים, אך כרגע ניתן להתעלם מהם.

מספר קואורדינציה

עבור כל תא יחידה ניתן לחשב את מספר השכנים הקרובים של כל אטום. חלקיק שכן הוא חלקיק הנמצא בעמדה הקרובה ביותר לאטום הנתון, לאורך אחד מכיווני הסדר לטווח ארוך. מספר השכנים הקרובים נקרא מספר קואורדינציה (coordination number).

כך, לתא קובי פרימיטיבי יש שישה שכנים קרובים לכל אטום — כלומר מספר הקואורדינציה שלו הוא 6. עבור תא BCC מספר הקואורדינציה הוא 8, ועבור FCC ו-HCP הוא 12. ככל שמספר הקואורדינציה גדול יותר, כך המבנה צפוף יותר — כלומר יש בו יותר אטומים ליחידת נפח.

צפיפות האריזה (APF)

דרך נוחה אחרת לבטא עד כמה מבנה נתון צפוף היא באמצעות צפיפות האריזה (APF — atomic packing factor): היחס בין הנפח שתופסים האטומים עצמם לבין נפח התא כולו.

$APF=\frac{V_{atoms}}{V_{cell}}$

כאשר נפח האטומים הוא מכפלת נפחו של אטום בודד במספר האטומים שבתא:

$V_{atoms}=n\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

כדי לחשב APF עבור כל מבנה, עלינו ללמוד שני דברים: כיצד לספור את מספר האטומים בתא, וכיצד לקשור בין רדיוס האטום $r$ לבין אורך מקצוע הקובייה $a$.

ספירת אטומים בתא. אטום אינו שייך כולו לתא יחיד — הוא מתחלק בין התאים השכנים:

• אטום בקודקוד משותף ל-8 תאים, ולכן תורם $\frac{1}{8}$ לכל תא.
• אטום על פאה משותף ל-2 תאים, ותורם $\frac{1}{2}$.
• אטום במרכז הגוף שייך כולו לתא, ותורם 1.

מכאן:

• PC: $8\times \frac{1}{8}=1$ אטום לתא.
• BCC: $8\times \frac{1}{8}+1=2$ אטומים לתא.
• FCC: $8\times \frac{1}{8}+6\times \frac{1}{2}=4$ אטומים לתא.

הקשר בין $r$ ל-$a$ נקבע על פי הכיוון שבו האטומים נוגעים זה בזה:

• עבור PC — האטומים נוגעים לאורך המקצוע: $a=2r$.
• עבור BCC — האטומים נוגעים לאורך אלכסון הגוף: $a\sqrt{3}=4r$, ולכן $a=\frac{4r}{\sqrt{3}}$.
• עבור FCC — האטומים נוגעים לאורך אלכסון הפאה: $a\sqrt{2}=4r$, ולכן $a=2\sqrt{2}r$. בהצבה מתקבלות צפיפויות האריזה:

$AP{F}_{PC}=\frac{\pi }{6}\approx 0.52AP{F}_{BCC}=\frac{\sqrt{3},\pi }{8}\approx 0.68AP{F}_{FCC}=\frac{\sqrt{2},\pi }{6}\approx 0.74$

כלומר, ב-FCC כ-74% מן הנפח תפוס באטומים — זו האריזה הצפופה ביותר האפשרית לכדורים זהים (כמו גם ב-HCP שעבורו הפיתוח הגיאומטרי קצת פחות פשוט).

צפיפות תאורטית

מתוך מבנה התא ניתן לחשב את הצפיפות התאורטית של החומר — הצפיפות שתהיה לגביש מושלם, ללא פגמים. הצפיפות היא מסת האטומים שבתא חלקי נפח התא:

$\rho =\frac{n\cdot M}{N_A\cdot V_{cell}}$

כאשר $n$ הוא מספר האטומים בתא, $M$ המסה המולרית, $N_A$ מספר אבוגדרו, ו-$V_{cell}=a^3$ עבור תא קובי. השוואה בין הצפיפות התאורטית לצפיפות הנמדדת בפועל מאפשרת לעיתים להעריך את כמות הפגמים בחומר.

---

פולימורפיזם ואלוטרופיה

חומר מוצק אחד יכול להתקיים ביותר ממבנה גבישי אחד, בהתאם לטמפרטורה וללחץ. כאשר מדובר בחומר יסוד, התופעה נקראת אלוטרופיה (allotropy); כאשר מדובר בתרכובת, היא נקראת פולימורפיזם (polymorphism).

הדוגמה המוכרת ביותר היא הפחמן: יהלום וגרפיט הם שני אלוטרופים של אותו יסוד, ומבנהם הגבישי השונה לחלוטין הוא שמסביר את ההבדל העצום בתכונותיהם — הקשיח שבחומרים מול חומר רך ומוליך. דוגמה נוספת היא הקְוַרץ והקְריסטובליט, שני מבנים גבישיים של $Si{O}_2$. לכל אחד מהאלוטרופים של אותו חומר היסוד או לכל אחד מהפולימורפים של אותה התרכובת יש מבנים (סריגים) שונים ותחומי היציבות (טמפרטורה ולחץ) שונים, אך ההרכב הכימי שלהם זהה.

המעבר בין אלוטרופים אינו עניין אקדמי בלבד — לעיתים הייתה לו השפעה דרמטית על ההיסטוריה. הדוגמה הקלאסית היא הבדיל (Sn): בטמפרטורת החדר יציב בדיל לבן מתכתי, אך בקור הוא הופך לבדיל אפור, חומר פריך המתפורר לאבקה. תופעה זו, המכונה “מגפת הבדיל”, נקשרה למספר אסונות היסטוריים — כגון משלחתו של רוברט סקוט אל הקוטב הדרומי, שבה (לפי גרסה אחת) פקקי הבדיל של מכלי הדלק התפוררו בקור והדלק החיוני אבד; וכן סיפורים על כפתורי הבדיל במדי חייליהם של נפוליון או של סובורוב, שהתפוררו בכפור. הסיפורים הללו ממחישים היטב כיצד שינוי במבנה הגבישי משנה את תכונות החומר מן הקצה אל הקצה.

מבוא לקריסטלוגרפיה

מערכות גבישיות

את כלל המבנים הגבישיים ניתן למיין לפי מערכות גבישיות (סינגוניות) — קבוצות הנבדלות ביחסים בין אורכי המקצועות של התא ובין הזוויות ביניהם. במערכת הקובית, למשל, כל המקצועות שווים ($a=b=c$) וכל הזוויות ישרות. ישנן שבע מערכות גבישיות בסך הכול, ובשילוב עם אופני המירכוז האפשריים הן מולידות את 14 סריגי ברווה שהוזכרו לעיל.

מצייני מילר (Miller indices)

כדי לתאר כיוונים ומישורים בתוך הגביש, משתמשים במערכת סימון אחידה — מצייני מילר. מציין מישור הוא שלשה של מספרים שלמים, $(hkl)$, המתקבלת באופן הבא:

1. מאתרים את הנקודות שבהן המישור חותך את צירי הקואורדינטות, ביחידות של אורך המקצוע.
2. לוקחים את ההופכי של כל אחד מהחיתוכים.
3. מצמצמים לשלשת המספרים השלמים הקטנה ביותר באותו יחס. מישור המקביל לציר חותך אותו ב”אינסוף”, וההופכי שלו הוא 0.

דגש מרכזי — פירוש גאומטרי במבנה קובי. בקורס בסיסי נתמקד במבנים קוביים, שבהם למצייני מילר יש פירוש חזותי פשוט ושימושי:

• שני אפסים ויחידה, כגון $(100)$ — זהו פשוט אחד מפאות הקובייה**. המישור ניצב לציר אחד ומקביל לשני האחרים.
• **שתי א
• יחידות ואפס**, כגון $(110)$ — זהו מישור אלכסוני החותך את הקובייה לאורך שתי פאות נגדיות (מישור “דיאגונלי”).
• שלוש יחידות, $(111)$ — זהו מישור החותך את שלושת הצירים במרחק שווה. הוא מאונך לאלכסון הראשי שלה.

זיהוי מהיר של שלושת המקרים האלה מספיק לרוב הצרכים בקורס בסיסי. מבנים שאינם קוביים חשובים פחות בשלב זה.

גבישים אמיתיים

עד כה דיברנו על גביש אידיאלי, אחיד ואינסופי. בעולם האמיתי המצב מורכב יותר.

חד-גביש (monocrystal) — גוף שכולו סריג רציף אחד, באותו כיוון מרחבי. דוגמאות: גביש קוורץ, או פרוסת סיליקון לתעשיית המוליכים למחצה.

רב-גביש (polycrystal) — הגוף בנוי מאינספור גרגרים (grains) קטנים, שכל אחד מהם הוא חד-גביש זעיר בכיוון אקראי משלו. רוב המתכות שאנו פוגשים בחיי היומיום הן רב-גבישיות.

המבנה החד-גבישי נוצר בקלות ובאןפן ספונטיני רק עבור גבישים קטנים - טיפוסית, פחות המילימטר אחד בגודלם. גידול חד-גביש גדול יותר הינו בעיה הנדסית לא פשוטה, ולכך חשיבות רבה. כך לדוגמה, עבור רכיבים אלקטרוניים או מתקנים אופטיים מתקדמים יש צורך בחד-גבישים בגודל של מילימטרים או אפילו סנטימטרים. תהליך ייצור מתאים לוקח ימים רבים בתנאים מיוחדים מאוד, והצלחתו אינה מובטחת. בטבע, חד-גבישים גדולים צומחים רק בתנאים גאולוגיים נדירים — לאט ולאורך זמן רב — ולכן רוב המוצקים בטבע הם רב-גבישים.

איזוטרופיה ואניזוטרופיה. אניזוטרופיה היא תלות של תכונות החומר בכיוון המדידה. לחד-גביש תכונות שונות בכיוונים שונים, ולכן הוא אניזוטרופי. רב-גביש, לעומת זאת, בנוי מגרגרים המכוונים אקראית, וממוצע התכונות לכל הכיוונים יוצא דומה — ולכן הוא נוטה להיות איזוטרופי (תכונותיו זהות בכל כיוון).

מבין החומרים ההנדסיים, אניזוטרופיה מאקרוסקופית היא תופעה יחסית נדירה. דוגמה לחומר אניזוטרופי היא עץ: התנגדותו לניסור לאורך הסיבים שונה מאוד מהתנגדותו בניצב להם.