פרק ראשון. הגל

מה זה גל?

בפיזיקה הקלאסית (בקירוב מהמאה ה-17 ועד תחילת המאה ה-20) גלים נחשבו לסוג מיוחד של תנועה — התפשטות תנודות בתוך מצע (סביבה מוחשית). היה מקובל לומר כך: יש תנועה ישרה, יש תנועה סיבובית, ויש תנועה גלית.

מבחינה זו, הגל אינו דבר עומד בפני עצמו. הוא אינו חומר, ואינו יכול להתקיים ללא מצע שבו הוא מתפשט. זה טבעי — כל אחד מאיתנו תופס את העניין באופן אינטואיטיבי כך. למשל, גל בים הוא תנועה של מים, קול הוא תנועה של אוויר, וכן הלאה.

מאוחר יותר התברר שהדברים מורכבים יותר. התגלה שקיימים גלים שבהם אין חלקיקי חומר מתנודדים, ואין אפילו מצע שבתוכו מתרחשת התנודה. הרבה זמן היה קשה להאמין בזה. עד סוף המאה ה-19, ואפילו בתחילת המאה ה-20, נהגו לחשוב שהאור מתפשט בתוך מצע מיוחד — האתר (Ether).

האתר נחשב לחמקמק עד כדי כך שאף מדידה לא הצליחה לאתר אותו באופן חד-משמעי. ובסופו של דבר, בתחילת המאה ה-20 לא הצליחו לגלות את האתר בניסוי, ובהדרגה זנחו את הרעיון. מאז קיים בקהילה המדעית קונצנזוס: האור הוא סוג מיוחד של גלים אלקטרומגנטיים, המסוגלים להתפשט אפילו בריק.

בהמשך הוצעו גם סוגי גלים נוספים, המסוגלים להתפשט בהיעדר מצע. אם להיות הוגן עד הסוף, כולם הם תיאוריות מבוססות פחות או יותר. כיום תיאוריות אלה מקובלות על הכלל, אך כמו כל תיאוריה מדעית — הן עשויות להיבחן מחדש בעתיד.

יש אמירה מצוינת של אחד מגדולי הפיזיקאים התיאורטיקנים, ריצ’רד פיינמן: “הכול תלוי בסקאלה — בתדירות נמוכה אנחנו רואים גל, ובתדירות גבוהה — חלקיק”.

כיום אי אפשר לדבר על תכונות החומר מבלי להבין תכונות של גלים. בפרק זה אנסה לספר על התכונות הבסיסיות של גלים, ככל האפשר מבלי לשקוע במתמטיקה ובהוכחות פורמליות.

---

הגדרה קלאסית. גלים רוחביים וגלים אורכיים

בהמשך, את המילים “גל” ו”תנודה” אשתמש בהן כמילים נרדפות. אמנם בספרים מסוימים מבחינים ביניהן: גל נחשב כדבר המעביר אנרגיה, ואילו בתנודה האנרגיה נשארת באופן כללי במקום.

הבחנה זו הגיונית, אך אינה נוחה במיוחד למטרותינו. בנוסף, קיימת מסורת מושרשת. למשל, מקובל לומר שבתנודות מיתר גיטרה נוצר “גל עומד” (standing wave). אם נבחין בקפדנות בין “גל” ל”תנודה”, הביטוי “גל עומד” יהיה סותר באותה מידה כמו “רטיבות יבשה” או “לובן שחור”.

אחת התכונות המרכזיות של גל היא מחזוריות התנועה. בתנועה גלית, לכל נקודה יש מצב שיווי משקל מסוים, שממנו היא סוטה ואליו היא חוזרת. מצב שיווי המשקל עצמו יכול להיות נייח או נע.

בהתאם לכך, אפשר לדבר על גלים נעים וגלים עומדים. גל בים הוא גל נע, ואילו תנודות של קפיץ או מיתר הן גלים עומדים.

בכל גל, הנקודות מבצעות תנודות מחזוריות סביב מצב שיווי המשקל, אך כיוון התנודה יכול להיות שונה. שני המקרים החשובים ביותר הם:

• גלים אורכיים — כאשר התנודה של כל נקודה מקבילה לכיוון התפשטות הגל;
• גלים רוחביים — כאשר התנודה מאונכת לכיוון ההתפשטות.

במציאות, התנודה יכולה להתרחש בכל זווית, אך אפשר תמיד לפרק אותה לסכום של מרכיב אורכי ומרכיב רוחבי.

אם לתת דוגמאות מוכרות: גל בים הוא בעיקרו רוחבי ומתפשט על פני שטח (כלומר הוא דו-מימדי), תנודות קפיץ הן בעיקרן אורכיות, ותנודות מיתר הן רוחביות כמעט באופן מלא.

גלים יכולים להיות חד-מימדיים, דו-מימדיים או תלת-מימדיים. גל חד-מימדי מתפשט לאורך קו, גל דו-מימדי — על פני שטח, וגל תלת-מימדי — בתוך נפח. גל בים הוא דו-מימדי, תנודות מיתר הן חד-מימדיות, וגל קול באוויר הוא תלת-מימדי.

---

מאפייני הגל

פאזה (מופע)

אחת התכונות החשובות ביותר של גל, ועם זאת אחת הפחות אינטואיטיביות, היא הפאזה. הפאזה (המופע) מתארת את מצבה של נקודה בתוך מחזור התנודה.

בדרך כלל מצב שיווי המשקל מוגדר כאפס, והפאזה בכל נקודה אחרת נמדדת ביחס לערך זה.

אפשר להגדיר פאזה בכמה דרכים. למשל, באופן לינארי — כסטייה ממצב שיווי המשקל. אך לרוב נוח יותר להגדירה כזווית, אם מציגים את התנודה כתנועה על מעגל או כגל סינוס. במקרה הזה הפאזה נמדדת במעלות או ברדיאנים.

חשוב להבין שהפאזה משתנה כל הזמן, אפילו בגל עומד. למשל, במיתר גיטרה כל נקודה מבצעת תנודה מתמדת, אף על פי שהמיתר עצמו מקובע ואינו נע במרחב. כל נקודה עוברת את כל הפאזות — מהסטייה המקסימלית למטה ועד לסטייה המקסימלית למעלה — ובחזרה.

תדירות

תדירות התנודה היא מספר החזרות לאותה פאזה ביחידת זמן. היא נמדדת בהרץ (Hz): 1 Hz משמעו תנודה אחת בשנייה.

לדוגמה, ברשת החשמל המתח משתנה בתדירות של 50 Hz. כלומר, מתרחשות 50 תנודות מלאות בשנייה — המתח מגיע למקסימום בכיוון החיובי 50 פעמים, ולמקסימום בכיוון השלילי 50 פעמים נוספות.

משרעת

משרעת הגל (Amplitude) היא הסטייה המקסימלית ממצב שיווי המשקל. במהותה, זהו ה”גודל” של הגל.

לדוגמה, כשאומרים שגובה הגלים בים מגיע ל-8 מ’, הכוונה היא, בקפדנות, למרחק בין שיא לשוקת — כלומר פעמיים המשרעת.

חשוב להבדיל בין משרעת להעתק. ההעתק תלוי בפאזה ומשתנה בכל רגע. המשרעת היא ״ההעתק המרבי״, היא קבועה ומאפיינת את הגל הנתון ללא קשר עם הזמן.

---

הגדרה כללית של גל

התחלנו מהגדרת הגל כצורת תנועה של חלקיקים, שבה מתקיימת חזרה מחזורית למצב המקורי.

ההגדרה המודרנית רחבה יותר:

גל הוא שינוי מחזורי בגודל פיזיקלי כלשהו.

הגדרה זו מאפשרת לתאר בעזרתה תופעות מגוונות מאוד — אור, שדות אלקטרומגנטיים ועוד — ולהשתמש לשם כך במנגנון מתמטי זהה או קרוב.

צורות גל. תנודות הרמוניות

צורות שונות של גלים

מכיוון שהתחלנו לעסוק בגל, עולה השאלה: מה הדרך הנוחה ביותר לתאר אותו? בדרך כלל עושים זאת בעזרת גרף. על ציר ה-y מציבים את גודל התנודה (למשל, ההעתק), ועל ציר ה-x את הזמן.

כתוצאה מתקבל גרף, שבעיקרון, אורכו אינסופי. גל הוא תהליך מחזורי — הערכים שלו חוזרים על עצמם שוב ושוב, באופן תיאורטי עד אינסוף. אך אם התהליך חוזר על עצמו, הגיוני יותר לבחון מחזור אחד שלם.

מחזור שלם אחד נקרא מחזור (Period). זהו הזמן שבו המערכת מבצעת תנודה מלאה אחת, והוא נמדד בשניות.

לכן הדרך הנוחה ביותר היא להציג מחזור אחד של הגל.

מכיוון שהדרישה המחייבת היחידה מגל היא מחזוריות, צורתו יכולה להיות מגוונת מאוד:

• צורת שן-מסור
• צורה מלבנית (ריבועית)
• צורת פולס
• צורה סינוסואידלית

מתמטית, הצורה הפשוטה ביותר לתיאור היא צורה סינוסואידלית. בהמשך נראה שגם גלים בעלי צורה מורכבת יותר אפשר להציג כסכום של גלי סינוס.

בשביל מתמטיקאים, זהו אוצר אמיתי: פונקציית הסינוס היא חלקה, יש לה נגזרות מכל סדר ואין בה אי-רציפויות. לעבוד איתה — תענוג צרוף (למתמטיקאים, כמובן). מסיבה זו, באופן מסורתי, גל כזה נקרא גל הרמוני.

הגדרת הגל ההרמוני

תנודה נקראת הרמונית כאשר הכוח המחזיר את המערכת לשיווי משקל הוא פרופורציוני לסטייה ממנו.

זה ניתן לכתיבה בנוסחה פשוטה:

$F=-kx$

כאשר:

• $x$ — הסטייה
• $F$ — הכוח המחזיר
• $k$ — מקדם הקשיחות

נוסחה זו מוכרת בשם חוק הוק (Hooke’s law).

אפשר לשאול: אז איפה כאן הסינוס? וכאן בדיוק מתחיל הקסם. בנוסחה של חוק הוק עצמה אין שום סינוס. אבל אם התנועה מקיימת חוק זה, הפתרון של המשוואה המתאימה מתגלה כסינוסואידלי.

משוואת התנודה ההרמונית

התיאור הפשוט ביותר של תנודה הרמונית הוא:

$x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$

כאשר:

• $A$ — המשרעת
• $\omega$ — התדירות הזוויתית
• $\phi$ — הפאזה ההתחלתית

התדירות הזוויתית קשורה למחזור באמצעות הנוסחה:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

כאשר $T$ הוא מחזור התנודה.

---

משוואת הגל

כאשר גל מתפשט במרחב, יש להתחשב לא רק בזמן, אלא גם בקואורדינטות.

במקרה הכללי, הפונקציה $u(x,y,z,t)$ מתארת את מצב הגל בכל נקודה במרחב ובזמן.

משוואת הגל מקשרת בין שינויים בזמן לשינויים במרחב:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2{\nabla }^{2}u$

כאשר:

• $v$ — מהירות התפשטות הגל
• ${\nabla }^2$ — הלפלסיאן (הנגזרת השנייה במרחב)

זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני. פתרונה המלא דורש מנגנון מתמטי מפותח, שלא נעסוק בו כאן.

למרבה המזל, ברוב הבעיות המעשיות אפשר להשתמש במודל פשוט יותר — גל הרמוני חד-מימדי:

$u(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\phi )$

מהירות התנודה של נקודה

נבחן את תנועתה של נקודה בגל:

$x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$

המהירות היא הנגזרת לפי זמן:

$v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega \cos (\omega t+\phi )$

---

תובנה חשובה

המהירות:

• מקסימלית בעת חציית מצב שיווי המשקל
• מתאפסת בנקודות הקיצון (המשרעת המקסימלית)

זה מובן באופן אינטואיטיבי:

• בנקודות הקיצון המערכת “מתהפכת” (משנה כיוון)
• במרכז — התנועה המהירה ביותר

---

אנרגיית הגל

נבחן את אנרגיית התנודה.

אנרגיה קינטית

האנרגיה הקינטית:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

נציב את המהירות:

$E_k=\frac{1}{2}m{\left(A\omega \cos (\omega t+\phi )\right)}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^2{\cos }^2(\omega t+\phi )$

מסקנות

מכאן עולה:

1. האנרגיה היא תמיד חיובית
2. האנרגיה פרופורציונית לריבוע המשרעת

אנרגיה כוללת

האנרגיה הכוללת של מערכת הרמונית:

$E=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^2$

המשמעות הפיזיקלית

• ככל שהמשרעת גדולה יותר — האנרגיה גדולה יותר
• הכפלת המשרעת פי 2 → האנרגיה גדלה פי 4

הערה מעשית

במערכות אמיתיות:

• האנרגיה יכולה לעבור חילופים עם הסביבה
• קיימים אובדנים (הפסדים)
• הפאזה של האנרגיה יכולה להיות שונה

לכן, לעיתים קרובות נהוג להשתמש לא באנרגיה הרגעית, אלא באנרגיה הממוצעת.

---

עוצמת הגל

עוצמת הגל (Intensity) היא:

האנרגיה העוברת ביחידת שטח ביחידת זמן.

תוצאה מרכזית

עוצמת הגל, כמו האנרגיה:

פרופורציונית לריבוע המשרעת.

---

המעבר הבא

כעת, כשהבנו:

• כיצד מתאר גל
• כיצד מתקשרים הפרמטרים שלו
• כיצד מתנהגת האנרגיה

אפשר לעבור לשאלה החשובה הבאה:

👉 מה קורה כשגלים נפגשים זה עם זה —

כלומר, לעקרון הסופרפוזיציה ולתופעת האינטרפרנציה.

סופרפוזיציה של גלים

עקרון הסופרפוזיציה

מה קורה כאשר שני גלים, או יותר, נפגשים באותה נקודה במרחב?

התשובה נשמעת כמעט טריוויאלית, אך למעשה היא רחוקה מלהיות ברורה מאליה: ההעתק הכולל שווה לסכום ההעתקים של כל גל בנפרד.

אם הגל הראשון נותן העתק $x_1$, והשני — $x_2$, אז התוצאה היא:

$x=x_1+x_2$

זהו עקרון הסופרפוזיציה.

מדוע זה לא מובן מאליו? מכיוון שהוא תקף רק עבור מערכות לינאריות — כלומר כאלה שבהן התגובה פרופורציונית לגירוי (נזכיר את חוק הוק: $F=-kx$, ללא $x^2$ או $\sin x$ של $x$). עבור רוב הגלים שאנו נתקלים בהם במשרעות “נורמליות” — קול, אור, אדוות על פני מים — זה עובד היטב. אבל במשרעות גדולות מאוד (לייזר עוצמתי, גל הלם) הלינאריות מתערערת, והסופרפוזיציה כבר אינה מדויקת.

---

חיבור גלים בעלי תדירות זהה

המקרה הפשוט ביותר: שני גלים בעלי תדירות זהה $\omega$, אך עם פאזות שונות:

$x_1=A_1\sin (\omega t+{\phi }_1)$ $x_2=A_2\sin (\omega t+{\phi }_2)$

הסכום שלהם הוא, שוב, גל הרמוני באותה תדירות:

$x=A\sin (\omega t+\phi )$

אך המשרעת $A$ תלויה בהפרש הפאזות $\Delta \phi ={\phi }_1-{\phi }_2$:

• אם $\Delta \phi =0$ (הגלים “בפאזה”) — המשרעות מתחברות: $A=A_1+A_2$;
• אם $\Delta \phi =\pi$ (הגלים “בניגוד פאזה”) — המשרעות מתחסרות: $A=|A_1-A_2|$, ובמקרה של משרעות שוות הגלים מבטלים זה את זה לחלוטין;
• במקרי ביניים מתקבלת תוצאה אמצעית.

שימו לב: מבחינת האנרגיה של כל גל בנפרד, שום דבר לא “התאדה” לשום מקום — פשוט, בנקודה נתונה במרחב, הגלים מחזקים זה את זה או מחלישים זה את זה. בנקודות אחרות התמונה יכולה להיות שונה לגמרי. זהו בעצם הגרעין של מה שבפרק הבא נקרא התאבכות (אינטרפרנציה) — אך שם נבחן את התופעה במרחב, ולא רק בזמן בנקודה אחת.

---

פעימות

מקרה מעניין וחשוב מבחינה מעשית הוא חיבור של שני גלים בעלי תדירויות קרובות, אך שונות, ${\omega }_1$ ו-${\omega }_2$:

$x=A\sin ({\omega }_{1}t)+A\sin ({\omega }_{2}t)$

באמצעות זהויות טריגונומטריות אפשר לכתוב זאת כך:

$x=2A\cos \left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t\right)\sin \left(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t\right)$

מתקבל גל בעל תדירות “מהירה” $\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$ (הקרובה לתדירויות המקוריות), שהמשרעת שלו משתנה לאט עם הזמן, בתדירות $\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}$.

זוהי תופעת הפעימות (Beats) — עלייה וירידה איטיות בעוצמת הקול, הנשמעות כאשר שני צלילים דומים מאוד (למשל, שני מיתרים שכוונו בצורה קצת שונה) נשמעים בו-זמנית. ככל שהתדירויות קרובות יותר זו לזו, כך הפעימות איטיות יותר. מכווני כלי נגינה משתמשים בתופעה זו ישירות: הם מאזינים לפעימות ומכווינים את המיתר עד שהפעימות נעלמות לחלוטין — וזה הסימן שהתדירויות הזדהו.

מה למדנו בפרק זה

התחלנו מהשאלה הכללית ביותר — מה זה גל — והגענו להגדרה מפושטת, אך רבת-עוצמה: גל הוא שינוי מחזורי בגודל פיזיקלי כלשהו.

עברנו על המאפיינים הבסיסיים של גל:

• פאזה — מצבה של נקודה בתוך מחזור התנודה;
• תדירות — באיזו קצב חוזר המחזור על עצמו;
• משרעת — מה גודל הסטייה ממצב שיווי המשקל.

ראינו שהצורה הפשוטה והנוחה ביותר מתמטית של גל היא סינוסואידלית, הרמונית, ושהדינמיקה שלה נקבעת לחלוטין על-ידי המשוואה $x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$.

חישבנו את המהירות והאנרגיה של נקודה המבצעת תנודה הרמונית, וראינו תוצאה מרכזית: האנרגיה (והעוצמה) של הגל פרופורציונית לריבוע המשרעת — עובדה שתופיע שוב ושוב בהקשרים רבים ומגוונים.

ולבסוף, הכרנו את עקרון הסופרפוזיציה — את הרעיון שגלים פשוט מצטרפים זה לזה. עקרון שנראה פשוט במבט ראשון, אך כפי שנראה בפרק הבא, הוא הבסיס לאחת התופעות היפות והחשובות ביותר בפיזיקה — האינטרפרנציה.