פרק שני: התאבכות, עקיפה, גלים עומדים
מסופרפוזיציה להתאבכות
בפרק הקודם ראינו שגלים מצטרפים זה לזה: ההעתק הכולל הוא פשוט סכום ההעתקים של כל גל. לגלים בעלי תדירות זהה, התוצאה תלויה בהפרש הפאזות — במקומות מסוימים הגלים מחזקים זה את זה, ובמקומות אחרים מבטלים או מחלישים זה את זה.
בפעם הקודמת בחנו זאת בנקודה אחת במרחב, כתלות בזמן. כעת נעבור לכיוון אחר: נקבע את הזמן, ונבחין את מה שקורה בנקודות שונות במרחב. יתברר שאותו רעיון בדיוק — חיבור גלים עם הפרש פאזות שונה — יוצר תבנית של אזורים בהירים וכהים (או רועשים ושקטים, או גבוהים ונמוכים) המתחלפים במרחב. תופעה זו נקראת התאבכות.
קוהרנטיות
הדבר הראשון שיש להבין: כדי שההתאבכות תהיה יציבה וניתנת להבחנה, הפרש הפאזות בין הגלים צריך להיות קבוע בזמן. גלים כאלה נקראים קוהרנטיים.
מדוע זה חשוב? נניח שהפרש הפאזות בין שני גלים משתנה כל הזמן — באופן אקראי, הרבה פעמים בשנייה. אז בכל נקודה במרחב יהיה לפעמים חיזוק ולפעמים החלשה, וכל זה יתרחש בקצב כל כך מהיר, שהעין שלנו (או כל גלאי ממשי) תראה רק ממוצע — רקע אחיד, בלי שום תבנית מובנת. ההתאבכות “קיימת”, אבל אנחנו לא רואים אותה.
זו הסיבה לכך שאור משתי מנורות שונות אינו מתאבך: כל מנורה פולטת אור כסכום עצום של “הבזקים” עצמאיים הלא תלויים זה בזה, הבאים מאטומים שונים, והפרש הפאזות בין כל ההבזקים האלה הוא אקראי. אבל אור המגיע ממקור יחיד, המתפצל לשתי אלומות (למשל, עובר בשני סדקים) — שומר על יחס פאזות קבוע בין האלומות, ואז ההתאבכות הופכת לנראית.
הפרש מדרך ותנאי המקסימום והמינימום
נדמיין שני מקורות גלים בעלי אותה תדירות, המתנודדים בסנכרון מלא (“בפאזה”). הגלים מתפשטים ממקור כל אחד מהם ונפגשים בנקודת תצפית כלשהי.
אם המרחקים מהמקורות לנקודה זו שונים, הגלים מגיעים אליה עם השתהות זמן שונה — כלומר עם הפרש פאזות מסוים, הנקבע על-ידי הפרש הדרך — ההפרש בין המרחקים שעבר כל גל.
נוח לבטא את הפרש הדרך ביחידות של אורך הגל . אם הפרש הדרך שווה למספר שלם של אורכי גל:
הגלים מגיעים “בפאזה” — שיא נופל על שיא — ומתרחשת התאבכות בונה: המשרעות מתחברות, ובנקודה זו מתקבל מקסימום.
אם, לעומת זאת, הפרש הדרך שווה למספר אי-זוגי של חצאי אורכי גל:
הגלים מגיעים “בניגוד פאזות” — שיא של אחד נופל על שפל של השני — ומתרחשת התאבכות הורסת: במשרעות שוות הגלים מבטלים זה את זה לחלוטין, ובנקודה זו מתקבל מינימום.
ההתאבכות הבונה וההתאבכות ההורסת הן שני מקרים גבוליים. בפועל, כל הפרש פאזות בין שני גלים קוהרנטיים גורם להתאבכות מסוימת, פשוט לא בכל המקרים התאבכות כזאת זכתה בשם מיוחד.
זה, במהותו, אותו דבר שראינו בפרק הקודם בחיבור גלים בנקודה אחת: נותן מקסימום, נותן מינימום. ההבדל הוא שכאן הפרש הפאזות נובע לא מכך שהמקורות מתנודדים אחרת, אלא מכך שעל הגלים לעבור מרחקים שונים.
ניסוי יאנג
ההדגמה הקלאסית של אינטרפרנציית אור היא ניסויו של תומס יאנג (1801). אור ממקור יחיד עובר בשני סדקים צרים, הממוקמים קרוב זה לזה, ופוגע במסך.
אילו האור היה רק זרם של חלקיקים, היינו רואים על המסך שני פסים בהירים — הטלות של הסדקים. אך במקום זאת, על המסך מופיעה סדרה שלמה של פסים בהירים וכהים המתחלפים — תבנית התאבכות.
זהו אחד הניסויים המפורסמים ביותר בתולדות הפיזיקה — הוא מילא תפקיד מכריע בקביעת אופיו הגלי של האור (במחלוקת עם התיאוריה הקורפוסקולרית של ניוטון). מעניין לציין שמאה שנים ויותר אחר כך התברר ששני הצדדים היו, בדרכם, צודקים: האור מתנהג גם כגל וגם כזרם חלקיקים — פוטונים — בהתאם לאופן שבו אנחנו צופים בו. אבל זה סיפור אחר, שמחכה לנו בפרק על המכניקה הקוונטית.
עקיפה
עקרון הויגנס
כדי להבין עקיפה, כלי פשוט אך עוצמתי הוא עקרון הויגנס: כל נקודה על חזית הגל אפשר לראות כמקור עצמאי וחדש לגלים משניים. חזית הגל החדשה היא תוצאה של סופרפוזיציה של כל אותם גלים משניים.
במבט ראשון זה נשמע כמו תרגיל מתמטי מאולץ. אך הוא מתאר את המציאות בצורה מדויקת באופן מפתיע — ובין היתר מסביר מדוע גלים מצליחים “לעקוף” מכשולים ולחדור לאזור הצל הגיאומטרי.
עקיפה בסדק
כאשר גל עובר בפתח או בסדק, אפשר, לפי הויגנס, להתייחס לכל נקודה בסדק כמקור לגלים משניים. גלים משניים אלה מתאבךים זה עם זה — והתוצאה היא שהגל שעובר את הסדק אינו ממשיך בקו ישר, אלא “נפרש”, ויוצר על המסך תבנית של מקסימום מרכזי ומקסימומים ומינימומים צדדיים חלשים יותר.
זו עקיפה: סטייה של גל מהתפשטות בקו ישר, כאשר הוא נפגש עם מכשול או פתח.
עולה שאלה הגיונית: מה בעצם ההבדל בין התאבכות לעקיפה? התשובה הכנה היא — ההבדל הוא בעיקרו היסטורי וטרמינולוגי, ולא פיזיקלי. בשני המקרים מדובר בסופרפוזיציה של גלים ממקורות שונים. כאשר מספר המקורות קטן והם דיסקרטיים (למשל, שני סדקים) — מדברים על התאבכות. כאשר מספר המקורות אינסופי והם יוצרים התפלגות רציפה (למשל, סדק רחב אחד) — מדברים על עקיפה. בפועל, ברוב הניסויים האמיתיים שני האפקטים קיימים בו-זמנית — למשל, ניסוי יאנג עם שני סדקים בעלי רוחב סופי נותן תבנית שהיא מכפלה של תבנית התאבכות (משני הסדקים כנקודות) ותבנית עקיפה (מרוחב כל סדק).
כלל חשוב: ככל שהפתח קטן יותר (בהשוואה לאורך הגל), כך העקיפה חזקה יותר. אם הפתח גדול בהרבה מאורך הגל, הגל ממשיך כמעט בקו ישר, בלי “התפרשות” משמעותית — לכן איננו שמים לב לעקיפה של אור בחיי היומיום (אורך הגל של אור נראה הוא שבריר של מיקרון, ורוב הפתחים סביבנו גדולים ממנו בהרבה). לעומת זאת, קול, שאורך גלו בסדר גודל של מטר, עוקף פינות של בניינים בקלות — ולכן אנחנו שומעים מה קורה מעבר לפינה, גם כשאיננו רואים זאת.
סריג עקיפה
אם במקום סדק אחד או שניים יוצרים מספר רב של סדקים צרים, במרווחים שווים זה מזה — מתקבל סריג עקיפה.
כל סדק הוא מקור לגלים משניים, וכולם מתאבכים זה עם זה. תנאי המקסימום של הסריג דומה לתנאי של שני סדקים, אך כעת נכנס לתמונה המרחק בין סדקים סמוכים :
כאשר היא הזווית שבה נצפה המקסימום.
התכונה המרכזית של הסריג היא שהוא מפריד את האור לפי אורכי גל: לכל מתאימה זווית מקסימום אחרת. לכן, אם על הסריג פוגע אור שאינו מונוכרומטי, אלא תערובת של אורכי גל (למשל, אור לבן), הסריג מפזר אותו לספקטרום — בדומה לפריזמה, אך באמצעות מנגנון פיזיקלי אחר.
כאן כדאי לעצור ולומר במפורש: תופעה זו עומדת בבסיס חלק עצום משיטות האנליזה שבהן תשתמשו ככימאים ומדעני חומרים. סריג העקיפה הוא הלב של כל ספקטרומטר (UV-Vis, אינפרה-אדום, ספקטרוסקופיית אמיסיה). ואם במקום אור נראה ניקח קרני רנטגן, ובמקום סריג מיוצר באופן מלאכותי ניקח את הסריג הקריסטלי של החומר עצמו (שבו תפקיד הסדקים מבצעים טורי האטומים, והמרחק הוא המרחק הבין-מישורי בקריסטל) — תנאי המקסימום הופך לחוק בראג המוכר לכם. דיפרקציית רנטגן (XRD) היא, במהותה, אותו סריג עקיפה, רק שתפקיד הסריג מבצע הקריסטל הנבדק עצמו. נחזור לכך בהרחבה בפרק על מצב מוצק.
ועל מנת לסיים את הדיון בהתאבכות ועקיפה, כדאי להביא את הציטוט המפורסם של ריצ׳רד פיינמן, הוא אחד מהגדולים ביותר בפיזיקה של המאה העשרים: ״מעולם לא נמצאה דרך משביעת רצון להגדיר את ההבדל בין התאבכות לעקיפה. זה בעיקר עניין של מינוח; אין ביניהן הבדל פיזיקלי מהותי. כאשר מעורבים שני מקורות או מספר קטן של גלים, נוהגים לדבר על התאבכות; כאשר מעורבים מקורות רבים, מקובל יותר לדבר על עקיפה.״
גלים עומדים
כיצד נוצר גל עומד
בפרק הראשון הזכרנו גלים עומדים כדוגמה לגלים שבהם הנקודות מתנודדות, אך הגל עצמו לא “נע” במרחב. כעת, כשבידינו ההתאבכות, אפשר לומר זאת בצורה מדויקת יותר: גל עומד הוא תוצאה של התאבכות בין שני גלים זהים, הנעים בכיוונים מנוגדים.
הדרך הפשוטה ביותר ליצור מצב כזה היא לקחת גל הנע בכיוון אחד, ולהחזיר אותו (להחזיר אותו אחורה). הגל המוחזר נע לעומת הגל המקורי. אם התדירויות והמשרעות שלהם זהות (וזה המצב כאשר ההחזרה מתרחשת מקצה “קשיח” מספיק) — סכומם הוא גל עומד.
קשרים ובטנים
בגל עומד יש נקודות שלעולם אינן נעות — הן נקראות קשרים (nodes). ויש נקודות המתנודדות במשרעת מקסימלית — בטנים (antinodes). בין שני קשרים סמוכים מצוי מחצית אורך גל בדיוק.
מדוע נוצרים קשרים? מכיוון שבנקודות אלה הגל הנע והגל המוחזר נמצאים תמיד בניגוד פאזה — ומבטלים זה את זה, לכל . ובבטנים — להפך, הם נמצאים תמיד בפאזה ומצטרפים.
תנאי הגבול קובעים מה קורה בקצוות. אם הקצה מקובע (כמו במיתר גיטרה), חייב להיות בו קשר — הנקודה פשוט אינה יכולה לנוע. אם הקצה חופשי (למשל, קצה פתוח של צינור, לגבי גל קול), נוצרת בו בטן.
תהודה והרמוניות
כאן מתחיל החלק המעניין ביותר עבור היישומים. אם יש לנו מיתר המקובע בשני קצותיו, באורך , אזי על המיתר יכול “להיכנס” גל עומד בעל צורה מסוימת בלבד — צורה שבה בשני הקצוות יש קשרים. זה מטיל תנאי על אורך הגל:
כלומר, אורך המיתר חייב להיות שווה למספר שלם של חצאי אורכי גל. התדירויות המתאימות הן:
כאשר היא מהירות הגל במיתר.
תדירויות מותרות אלה נקראות תדירויות עצמיות (או הרמוניות, או מודים) של המערכת. היא התדירות הבסיסית (הצליל הבסיסי), והשאר — **אוברטונים (overtones, הרמוניות עליונות).
מדוע זה חשוב? מכיוון שמערכת המעוררת באחת מתדירויותיה העצמיות מגיבה בעוצמה רבה במיוחד — תופעה זו נקראת תהודה (Resonance). כל כלי הנגינה עובדים בדיוק כך: הצורה והגודל של הכלי קובעים את מערך התדירויות העצמיות שלו, ואופן התפלגות האנרגיה בין הצליל הבסיסי לבין האוברטונים קובע את טימבר הצליל — מדוע כינור וחלילית, המנגנים את אותה תווה (אותה ), נשמעים שונים כך כל כך.
אותה ההגיון בדיוק — קצוות מקובעים, מערך קצוב של “גלים” מותרים, מצבי תהודה — יתגלה בהמשך כדומה באופן מפתיע לאופן שבו בנויים אורביטלים אלקטרוניים באטום ומבנה הפסים במצב מוצק. זו אינה דמיון אקראי או רק מטפורה נחמדה: המתמטיקה של גלים עומדים באזור סגור, והמתמטיקה של מצבים קוונטיים בבור פוטנציאל — היא, באופן מילולי, אותה מתמטיקה. כך שמה שאתם לומדים כעת על מיתר גיטרה יחזור אליכם בפרק על המכניקה הקוונטית, בצורה מופשטת יותר, אך מבחינה מבנית — זהה.
מה למדנו בפרק זה
המשכנו לפתח את רעיון הסופרפוזיציה מהפרק הראשון, אך כעת — במרחב, ולא רק בזמן. זה הוביל אותנו ל:
- התאבכות — תבנית קבועה של חיזוק וביטול גלים, הנוצרת מחיבור גלים קוהרנטיים עם הפרש מסילה שונה;
- עקיפה — סטייה של גל מהתפשטות בקו ישר, הבולטת במיוחד כאשר גודל המכשול או הפתח קרוב לאורך הגל;
- הבנה שסריג עקיפה (ולכן גם ספקטרוסקופיה וניתוח רנטגן מבני) הוא, במהותו, התאבכות מבוקרת ממספר רב של מקורות;
- גלים עומדים כתוצאה של התאבכות בין גלים נעים מנוגדים, עם קשרים, בטנים, ומערך תדירויות עצמיות (מודים של תהודה) הנקבע על-ידי תנאי השפה של המערכת.
מערך הרעיונות הזה — קוהרנטיות, הפרש מסילה, תנאי שפה, תדירויות עצמיות — יופיע שוב ושוב, מספקטרוסקופיה ועד מכניקה קוונטית ותורת הפסים במצב מוצק. אם משהו בפרק זה הרגיש מופשט — אל דאגה: היישומים הקונקרטיים יהפכו את הרעיונות הללו, בהדרגה, לאינטואיטיביים.