פרק 3 — מכניקת הקוונטים. השפה החדשה של הפיזיקה

מבוא: מ”טלאים” לתיאוריה שלמה

בפרק הקודם ראינו שהפיזיקה הקלאסית נכשלת מול העולם האטומי, ושניסיונות התיקון — מודל בור, גלי דה-ברויי — עובדים חלקית אך אינם מהווים תיאוריה עקבית. כל פתרון יצר בעיה חדשה; כל הסבר דרש הנחה שרירותית.

בין 1926 ל-1930 השתנה הכל. שרדינגר (Schrödinger), היזנברג (Heisenberg), דיראק (Dirac) ואחרים גיבשו תיאוריה חדשה ושלמה — מכניקת הקוונטים (quantum mechanics). היא אינה “תיקון” לפיזיקה הקלאסית, אלא השקפת עולם שונה לחלוטין.

כמה מתמטיקה נדרשת להבין אותה לחלוטין? למשל במכון הטכנולוגי של מסצ’וסטס (MIT): חדו”א, פיזיקה 2 ו-3, ואז שלושה קורסים של פיזיקה קוונטית בשנים ב’–ג’. בקורס הנוכחי לא מתיימרים להגיע לשם. המטרה היא הבנה מושגית ויכולת לעבוד עם הכלים המרכזיים.

3.1 שבעת הפוסטולטים

מכניקת הקוונטים מבוססת על מספר עקרונות יסוד — פוסטולטים — שאינם נגזרים מכלום שקדם להם. הם פשוט הנחות שהתבררו נכונות. מתמטית, כל הפוסטולטים עקביים; פיזיקלית, חלקם מאתגרים את האינטואיציה.

פוסטולט 1 — דואליות גל-חלקיק

כל חלקיק הוא גל, וכל גל הוא חלקיק. כל אובייקט קוונטי מתואר על ידי פונקציית גל (wave function):

$\psi (x_1,\dots ,x_N,t)$

המוגדרת על $N$ קואורדינטות ועל הזמן $t$. חלופית, ניתן לתאר אותו כוקטור מצב:

$|\psi ⟩\equiv \left(\begin{array}{c}{a}_1{a}_2{a}_3⋮\end{array}\right)$

כאשר $a_i$ הם ערכי תכונות. שתי הגישות — פונקציית גל ווקטור — שקולות מתמטית ומשמשות לסירוגין.

פוסטולט 2 — דיסקרטיות

המצבים הקוונטיים הם דיסקרטיים (discrete) — קצובים, מופרדים, מובדלים. לא כל ערך אפשרי, אלא רק ערכים מוגדרים.

הערה לשונית: “דיסקרטי” במדע פירושו מובחן ומופרד — לא “סודי” כפי שלפעמים טועים לחשוב בעברית יומיומית. אנגלית: discrete (לא discreet).

פוסטולט 3 — סופרפוזיציה

חלקיק קוונטי מהווה סופרפוזיציה (superposition) — “סכום” — של כל המצבים הקוונטיים האפשריים, בו-זמנית. הוא אינו “במצב אחד שאנחנו לא יודעים איזה” — הוא ממש בכולם. מבחינת שתי התצוגות של אובייקט קוונטי (פונקציית גל ווקטור מצב), ניתן לומר שסופרפוזיציה היא התאבכות של כל הגלים האפשריים או אחרת שהיא סכום ווקטורי של וקטורי מצב במרחב מופשט.

אנלוגיה: מסך RGB בנוי משלוש שכבות צבע — אדום, ירוק וכחול. כל פיקסל הוא “סופרפוזיציה” של שלושת הצבעים בו-זמנית; מה שרואים הוא התוצאה המשולבת. מתמטית, הסופרפוזיציה היא סכום (או אינטגרל) של כל המצבים האפשריים, כל אחד עם מקדם.

פוסטולט 4 — הסתברות בלבד

לא ניתן לקבוע ערך של תכונה קוונטית — רק את ההסתברות לקבל כל ערך אפשרי. בעולם הקלאסי, לכל חלקיק יש מיקום ומהירות מוגדרים — גם אם אנחנו לא יודעים אותם. בעולם הקוונטי, אין ערך מוגדר לפני המדידה. זה לא חוסר ידע — זה מצב פיזיקלי אמיתי.

פוסטולט 5 — חשבון כל ההסתברויות

יש להתחשב בכל ההסתברויות — אסור להתעלם מאף אחת. בפיזיקה קלאסית מותר להתעלם מאפשרויות בעלות הסתברות זניחה. בפיזיקה קוונטית — לא. גם מסלול שנראה “בלתי אפשרי” תורם לתוצאה הסופית.

זה הבסיס לתופעת מנהור קוונטי (quantum tunneling): חלקיק יכול לעבור דרך מחסום אנרגטי שבפיזיקה קלאסית היה בלתי עביר. הסיבה: יש הסתברות שאינה אפסית שהוא “יהיה” בצד השני — ואסור להתעלם ממנה.

פוסטולט 6 — המדידה משנה את הנמדד

כאשר מודדים תכונה קוונטית, המדידה “הורסת” (collapses) את הסופרפוזיציה — מכל המצבים האפשריים, והמערכת “קופצת” לאחד מהם. לאחר המדידה, המערכת כבר אינה במצב הסופרפוזיציה המקורי.

אנלוגיה: כאשר מנסים להציץ לחדר שבו ילדים משתוללים, ברגע שפותחים את הדלת הם מסדרים את עצמם. לא ניתן לראות “את האמת הלא מושפעת״ בגלל ההצצה עצמה.

המשמעות: אין מציאות קוונטית עצמאית שאנחנו “מגלים” במדידה — המדידה היא חלק מהתהליך. זה שונה לחלוטין מהפיזיקה הקלאסית, שם המדידה רק חושפת ערך שהיה קיים לפניה.

פוסטולט 7 — שזירה קוונטית

שני חלקיקים קוונטיים שיצרו אינטראקציה יכולים להישאר שזורים (entangled) — כך שמדידה של האחד משפיעה מיידית על המצב של השני, לא משנה כמה רחוקים הם זה מזה. אינשטיין כינה זאת “פעולה מפחידה מרחוק” (spooky action at a distance) ולא האמין בה. ניסויים הוכיחו שהיא אמיתית.

שזירה קוונטית היא הבסיס של מחשוב קוונטי — מחשבים המנצלים את הסופרפוזיציה והשזירה כדי לבצע חישובים שמחשב קלאסי אינו יכול לבצע ביעילות.

הערה מעשית: ניתן לחיות ולעבוד היטב מבלי להבין לעומק את כל הפוסטולטים. אנחנו עושים שימוש יומיומי בפירות של תיאוריות שאיננו מבינים לגמרי — בדיוק כמו שרוב האנשים מפעילים תנור מיקרוגל ללא הבנה של האלקטרודינמיקה שמאחוריו.

3.2 פירושים של מכניקת הקוונטים — שאלות פילוסופיות פתוחות

המתמטיקה של מכניקת הקוונטים עקבית ומדויקת. אבל מה זה אומר? כאן הדעות חלוקות — ויש כמאה הצעות שונות. להלן המרכזיות:

פירוש קופנהגן (Bohr & Heisenberg, 1927): השאלה “איפה היה החלקיק לפני שמדדתי?” היא חסרת משמעות. אין מציאות עצמאית מחוץ לתצפית. “המציאות נמצאת בתצפית ולא באלקטרון.” זהו הפירוש הנפוץ ביותר בקרב פיזיקאים מעשיים.

פירוש עולמות מרובים (Everett, 1957): כל מדידה “מפצלת” את היקום לענפים מקבילים. בענף אחד המדידה נתנה ערך A, בענף אחר — ערך B. הסופרפוזיציה ממשית; אנחנו רואים רק ענף אחד. מושאל מאוד מסרטי מדע בדיוני — אך גם לוקח אותה ברצינות חלק מהפיזיקאים.

היגיון קוונטי (von Neumann, 1936): ההיגיון הבינארי הקלאסי (“כן או לא”) אינו תקף בעולם הקוונטי. חוק השלישי הנשלל (tertium non datur — “אין שלישי”) אינו עובד. זה הבסיס התיאורטי של מחשוב קוונטי.

“Shut up and calculate” (Mermin): הגישה הפרגמטית הנפוצה ביותר בפועל — אל תנסה להבין מה זה “אומר”, פשוט עשה את החישובים ועשה שימוש בתוצאות.

לצורכי הקורס: הפירוש הפילוסופי אינו נושא המבחן. המספרים הקוונטיים ויישומם — כן.

3.3 אופרטורים, פונקציות עצמיות וערכים עצמיים

מהו אופרטור?

אופרטור הוא כלל הממיר פונקציה אחת לפונקציה אחרת — בניגוד לפונקציה רגילה שממירה מספר למספר.

דוגמאות לאופרטורים מוכרים: $\frac{d}{dx}$ (נגזרת), $\int dx$ (אינטגרל), x​ (שורש), כפל בקבוע ועוד. כולם פועלים על פונקציות ומחזירים פונקציות.

$\hat{A}f(x)=g(x)$

למשל: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$ — האופרטור “נגזרת” פועל על $\sin x$ ומחזיר $\cos x$.

פונקציות עצמיות וערכים עצמיים

אופרטור לינארי מיוחד: כאשר האופרטור פועל על פונקציה מסוימת, התוצאה היא אותה פונקציה כפול קבוע:

$\hat{A}f(x)=a\cdot f(x)$

במקרה זה:

• $f(x)$ נקראת פונקציה עצמית (eigenfunction) של האופרטור
• $a$ נקרא ערך עצמי (eigenvalue)

דוגמה: $\frac{d}{dx}[e^{3x}]=3e^{3x}$. הפונקציה $e^{3x}$ היא פונקציה עצמית של האופרטור $\frac{d}{dx}$, עם ערך עצמי $3$.

למה זה חשוב?

במכניקת הקוונטים, כל תכונה פיזיקלית מיוצגת על ידי אופרטור. כאשר מודדים תכונה, מקבלים ערך עצמי של האופרטור המתאים. הפונקציה העצמית היא מצב המערכת שבו לתכונה הזו יש ערך מוגדר.

הניסוח הכללי: $\hat{A}\psi =a\psi$, כאשר:

• $\hat{A}$ — אופרטור המייצג תכונה (אנרגיה, מומנטום, מיקום…)
• $\psi$ — פונקציית הגל (מצב המערכת)
• $a$ — הערך הנמדד

3.4 מכניקה קלאסית — שלושה ניסוחים

כדי להבין מאיפה מגיעה משוואת שרדינגר, כדאי להכיר את המכניקה הקלאסית בשפה מדויקת יותר מניוטון.

ניסוח ניוטוני

המוכר מבית הספר: $F=ma$, או בכתיב מלא:

$m_i{\ddot{x}}_i=F_i(x_1,x_2,\dots ,x_N),$

כאשר נקודה מעל תכונה מסמלת נגזרת ראשונה לפי הזמן, שתי נקודות - נגזרת שנייה לפי הזמן, כך ש $a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\ddot{x}$. נתוני הקלט: תנאי התחלה — מיקום ומהירות של כל חלקיק ברגע $t=0$. הפלט: מסלול מלא לכל זמן עתידי.

ניסוח לגרנג’יאני

במקום כוחות, עובדים עם לגרנג’יאן $L=K-U$ (אנרגיה קינטית פחות פוטנציאלית):

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_i}-\frac{\partial L}{\partial r_i}=0$

יתרון: נוח יותר למערכות עם אילוצים גיאומטריים (למשל, חלקיק על משטח מעוקל).

ניסוח המילטוניאני

קצת רקע: תנע (מומנטום) בפיזיקה הניוטונית נהוג להציג את המהירות כגודל המרכזי של תנועה — אבל זו למעשה בחירה פדגוגית, לא עובדה טבעית. מה שהטבע “סופר” ושומר הוא התנע, לא המהירות. כאשר שני גופים מתנגשים, המהירויות שלהם משתנות בדרכים שתלויות במסות, בזוויות, בגמישות המגע — אבל סכום התנעים נשמר תמיד. הטבע מעביר תנע מגוף לגוף, לא מהירות. מכאן גם ההגדרה הנכונה של כוח: כוח אינו “גורם לתנועה” — הוא קצב שינוי התנע, F = dp/dt. הנוסחה המוכרת F = ma היא פשוט מקרה פרטי, כאשר המסה קבועה. לכן תנע הוא גודל יסודי יותר ממהירות: מהירות מתארת מצב, תנע מתאר מה שנשמר ומה שמועבר.​​​​​​​​​​​​​​​​

עובדים עם המילטוניאן $H=K+U$ (אנרגיה כוללת) ועם זוגות של קואורדינטות ומומנטומים:

$\frac{\partial H}{\partial p_i}={\dot{x}}_i,\frac{\partial H}{\partial x_i}=-{\dot{p}}_i$

זהו הניסוח הכי כללי ובעל הקרבה הגדולה ביותר למכניקת הקוונטים — עד כדי כך שהמעבר ממכניקה קלאסית לקוונטית הוא פורמלית החלפת פונקציות באופרטורים.

ניסוח	אנרגיה	יתרון עיקרי
ניוטוני	$E=K+U$	ישיר ואינטואיטיבי
לגרנג’יאני	$L=K-U$	נוח לאילוצים
המילטוניאני	$H=K+U$	בסיס למכניקת הקוונטים

קלאסי מול קוונטי — השוואה

תכונה	מכניקה קלאסית	מכניקת הקוונטים
מצב המערכת	נקודה במרחב הפאזות (מיקום + מומנטום)	פונקציית גל $\psi$
תכונות	פונקציות מספריות	אופרטורים
מומנטום	$p=m\dot{x}$	$\hat{p}\psi =\hslash k\psi$
אנרגיה קינטית	$K=p^2/2m$	$\hat{K}\psi =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\psi$
תוצאת מדידה	ערך מוגדר	הסתברות לכל ערך אפשרי

3.5 משוואת שרדינגר — לב המכניקה הקוונטית

הערה חשובה לפני הגזירה

לא ניתן לגזור את משוואת שרדינגר מעקרונות פשוטים יותר — היא פוסטולט. מה שמוצג כאן הוא פיתוח היוריסטי (heuristic) — טיעון מונחה-תוצאה שמראה איך אפשר היה להגיע אליה, לא הוכחה שהיא נכונה. הסיבה שמקבלים אותה: היא עובדת. כל ניסוי שנעשה אישר אותה.

הפיתוח

שלב 1 — שימור אנרגיה:

$E=\frac{p^2}{2m}+U(\mathbf{r},t)$

אנרגיה כוללת = קינטית + פוטנציאלית. זה קלאסי לחלוטין.

שלב 2 — תיאור גלי:

לפי פוסטולט הדואליות, לכל חלקיק יש פונקציית גל. עבור חלקיק חופשי (ללא פוטנציאל):

$\psi (\mathbf{r},t)=C{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$

שלב 3 — יחסי פלנק-איינשטיין-דה-ברויי:

$E=\hslash \omega ,p=\hslash k$

שלב 4 — חיבור הכל:

מציבים יחסים אלו בשימור האנרגיה ומכפילים ב-$\psi$:

$\hslash \omega \psi =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\psi +U\psi$

שלב 5 — מעבר לאופרטורים:

בניסוח המילטוניאני, אנרגיה מתאימה לנגזרת בזמן ומומנטום — לנגזרת במרחב. לאחר החלפה:

$\boxed{i\hslash \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi (\mathbf{r},t)+U(\mathbf{r})\psi (\mathbf{r},t)}$

זוהי משוואת שרדינגר התלויה בזמן.

קריאת המשוואה

הצד השמאלי: $i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$ — שינוי פונקציית הגל בזמן, כפול קבוע. זה “מה שקורה”.

הצד הימני: $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +U\psi$ — האנרגיה הקינטית + האנרגיה הפוטנציאלית, פועלות כאופרטורים על $\psi$. זה “הכוחות הפועלים”.

${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ הוא האופרטור לפלסיאן — נגזרת שנייה בכל שלושת הכיוונים.

הצד הימני כולו הוא למעשה האופרטור המילטוניאני $\hat{H}$ הפועל על $\psi$, ולכן המשוואה לעיתים כתובה בקצרה: $i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi$.

גרסה בלתי-תלויה בזמן

עבור מערכות שאינן משתנות בזמן (פוטנציאל קבוע), פונקציית הגל מתפרדת לשני גורמים: $\Psi (x,t)=\psi (x)\cdot \varphi (t)$, כאשר החלק התלוי בזמן הוא $\psi (t)=e^{-\frac{iEt}{\hslash }}$. גורם זה אינו נעלם, אך מתבטל כאשר מחשבים ערכים נצפים, מכיוון שב-$|\Psi {|}^2$ האקספוננטות מתבטלות זו עם זו. לכן, עבור מצבים מתמידים, עובדים רק עם ψ(x)​​​​​​​​​​​​ ומקבלים:

$\hat{H}\psi =E\psi$

זוהי משוואת הערכים העצמיים של האנרגיה — פונקציות עצמיות של $\hat{H}$ הן מצבי האנרגיה המוגדרים, והערכים העצמיים $E$ הם האנרגיות האפשריות. רמות האנרגיה הדיסקרטיות של האטום — שגרמו לקווים הספקטרליים — יוצאות ממשוואה זו. ואם היינו מתחילים ממשוואת שרדינגר התלויה בזמן, אז במהלך הפתרון עדיין היינו מגיעים לביטול של החלק התלוי בזמן של פונקציית הגל ולרמות אנרגיה. וזה למעשה משמש כהוכחה מתמטית של יציבות הרמות הסטציונריות בנוסח של אטום בור, ואף של יציבות האטום בכלל.

3.6 פתרון לאטום המימן — אורביטלים ומספרים קוונטיים

מהי הבעיה?

אטום המימן הוא מערכת של גרעין ואלקטרון אחד. הפוטנציאל הוא כוח קולומב:

$U=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

כאשר $r$ הוא המרחק בין האלקטרון לגרעין. זוהי בעיית שני גופים שניתן להפחיתה לבעיית גוף אחד בקואורדינטות כדוריות $(r,\theta ,\phi )$.

הפתרון

פונקציות הגל של אטום המימן הן מהצורה:

${\Psi }_{n,l,m}(r,\theta ,\phi )=R_{n,l}(r)\cdot {\Theta }_{l,m}(\theta )\cdot {\Phi }_m(\phi )$

שלושה גורמים: רדיאלי, קוטבי ואזימוטלי. מתנאי הרציפות של כל גורם נובע שהפתרונות קיימים רק עבור מספרים שלמים ספציפיים — וכך מגיעים למספרים הקוונטיים.

הערה חשובה: “רק למימן”?

נפוץ לשמוע שמשוואת שרדינגר ניתנת לפתרון אנליטי רק לאטום המימן. זה נכון — אבל מטעה.

• פתרון אנליטי: מניפולציות אלגבריות עד נוסחה סגורה. אפשרי רק לחד-אלקטרוניים.
• פתרון נומרי: הצבת ערכים ובדיקה. אפשרי לכל אטום, בדיוק כל שרוצים, תלוי בזמן חישוב.

יתרה מזו: לא רק מימן — גם ${\text{He}}^{+}$, ${\text{Li}}^{2+}$, ואפילו ${\text{Fe}}^{25+}$ ניתנים לפתרון אנליטי, כי כולם מערכות חד-אלקטרוניות. אטומים רב-אלקטרוניים מורכבים יותר כי האלקטרונים דוחים זה את זה — אבל גם הם פתירים נומרית.

3.7 ארבעת המספרים הקוונטיים

מפתרון משוואת שרדינגר לאטום המימן, מופיעים שלושה מספרים שלמים בהכרח. ספין נוסף כמספר רביעי מאוחר יותר.

$n$ — מספר קוונטי ראשי (Principal quantum number)

$n=1,2,3,\dots$

קובע את רמת האנרגיה הכוללת ואת הרדיוס הממוצע מהגרעין. $n=1$ — הרמה הנמוכה ביותר (הפנימית). לאטום מימן:

$E_n=-\frac{13.6\text{eV}}{n^2}$

$l$ — מספר קוונטי אורביטלי (Orbital / Angular momentum quantum number)

$l=0,1,2,\dots ,(n-1)$

קובע את צורת האורביטל — בעצם, את מספר נקודות הקיצון של פונקציית הגל. לכל ערך יש שם:

$l$	0	1	2	3
שם	s	p	d	f

• $l=0$ (s): אורביטל כדורי — ללא כיוון מועדף, סימטרי
• $l=1$ (p): אורביטל דמוי שמינייה — יש כיוון מועדף, שלושה אורביטלים שונים בכיוון
• $l=2$ (d): אורביטלים מורכבים יותר — חמישה אורביטלים

$m_l$ — מספר קוונטי מגנטי (Magnetic quantum number)

$m_l=-l,-(l-1),\dots ,0,\dots ,(l-1),l$

קובע את כיוון האורביטל במרחב — היטל המומנט הזוויתי על ציר קבוע. לכל $l$ יש $(2l+1)$ ערכים, כלומר $(2l+1)$ אורביטלים שונים בכיוון.

הערה: אין התאמה “טבעית” בין הערך המספרי של $m_l$ לצורה ספציפית. ההקצאה שרירותית — מה שנקבע הוא רק כמה אורביטלים: $l=1$ נותן שלושה, $l=2$ נותן חמישה.

$m_s$ — ספין (Spin quantum number)

$m_s=+\frac{1}{2}\text{או}-\frac{1}{2}$

הספין אינו נובע ממשוואת שרדינגר — הוא תכונה מהותית של האלקטרון (ושל כל פרמיון). לאלקטרון יש בדיוק שני ערכים: “ספין מעלה” ו”ספין מטה”. בפועל כותבים $\pm \frac{1}{2}$ כאשר $\hslash$ נלקח כמובן מאליו.

ספירת אורביטלים

$n$	$l$ אפשריים	$m_l$ לכל $l$	סה”כ אורביטלים
1	0	{0}	1
2	0, 1	{0}, {-1,0,1}	1+3 = 4
3	0, 1, 2	{0}, {-1,0,1}, {-2,-1,0,1,2}	1+3+5 = 9

כלל: לרמה $n$ יש $n^2$ אורביטלים, ועם ספין — $2n^2$ אלקטרונים לכל היותר.

3.8 עקרון אי-הוודאות של היזנברג

הניסוח

$\Delta x\cdot \Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$

כאשר $\Delta x$ — אי-הוודאות במיקום, $\Delta p$ — אי-הוודאות במומנטום, $\hslash =h/2\pi \approx 1.05\times 10^{-34}\text{J⋅s}$.

הוא קבוע הסקאלה הקוונטית — גורם ההמרה בין הקנה הקוונטי לקנה האנושי. כל ביטוי הנוגע לעולם הקוונטי מכיל $\hslash$ (על כן לפעמים מדלגים על כתיבה מפורשת של $\hslash$).

מה זה אומר בפועל?

המכפלה $\Delta x\cdot \Delta p$ אינה יכולה להחות קטנה מ-$\hslash /2$. שיפור הדיוק במיקום בא על חשבון הורדת הדיוק במומנטום — ולהיפך.

הקיצונות:

• מיקום מדויק לחלוטין → מומנטום לגמרי לא ידוע. השלכה: לא ניתן לקבוע איך ולאן זז האלקטרון הנמצא בעמדה מסוימת.
• מומנטום מדויק לחלוטין → מיקום לגמרי לא ידוע. השלכה: האלקטרון שתנועתו ידועה, יכול להיות בכל מקום ביקום.

זאת לא מגבלה אן בעיה של מכשירים

חשוב להבין: עקרון אי-הוודאות אינו אומר שהמכשירים שלנו לא מספיק מדויקים. הוא אומר שלאלקטרון אין בו-זמנית מיקום ומומנטום מוגדרים — זהו מצב פיזיקלי אמיתי, לא חוסר ידע טכני.

לכן תמונות של אטומים תמיד “מטושטשות” — לא כשל של המיקרוסקופ, אלא עובדה עקרונית.

בקנה מידה יומיומי

לשולחן שעורעו מטר אחד, $\hslash$ כה קטן שאי-הוודאות במיקום היא $\sim 10^{-34}\text{m}$ שזה לא ניתן לזיהוי באף שיטת מדידה קיימת. לכן העיקרון איננו מורגש בחיי יומיום.

עקרון כללי יותר

עקרון אי-הוודאות חל על כל זוג תכונות שאינן “מתחלפות” מתמטית. זוגות חשובים:

$\Delta x\cdot \Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$ $\Delta E\cdot \Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$ $\Delta L_x\cdot \Delta L_y\ge \frac{\hslash }{2}$

הזוג $\Delta E\cdot \Delta t$ חשוב במיוחד: מצב אנרגטי קצר-חיים ($\Delta t$ קטן) בהכרח בעל רוחב ספקטרלי גדול ($\Delta E$ גדול) — ולכן הקו בספקטרום אינו חד אלא רחב. זה מסביר את רוחב הקווים הספקטרליים שנצפה בניסוי.

סיכום

שלושה דברים עיקריים מהפרק:

ראשית — מכניקת הקוונטים אינה “תיקון” לפיזיקה קלאסית, אלא השקפת עולם אחרת לחלוטין. תכונות הן אופרטורים; מצבים הם פונקציות גל; תוצאות מדידה הן הסתברויות.

שנית — משוואת שרדינגר היא לב התיאוריה. פתרונה לאטום המימן מניב אורביטלים ומספרים קוונטיים — ה-$n$, $l$, $m_l$ יוצאים מהמתמטיקה, לא מוכנסים ידנית.

שלישית — עקרון אי-הוודאות אינו מגבלה טכנית. הוא עובדה פיזיקלית: לאלקטרון אין בו-זמנית מיקום ומומנטום מוגדרים — ומכאן נובעת כל “מטושטשות” העולם הקוונטי.